简介¶
背景与动机¶
效率考虑的是投入与产出的关系，在相同的投入下，产出越高，效率越高。因此，评价效率是管理企业生产的一个重要因素。在实际生产中，真正的生产函数几乎是不可能被观测到的。但是，如果我们没有生产函数，那么效率就不能被评估。因此，必须提出一种估计生产函数的方法来评价效率。
什么是数据包络分析？¶
数据包络分析(Data Envelopment Analysis,DEA)是一种基于基准技术的方法，也是一种非参数化方法，通过从现有数据估计生产函数来评估可比实体(决策单元(DMUs))的效率。
为什么使用DEA？¶
实践中，生产通常是一个多输入多输出(Multi-Input Multi-Output(MIMO))的系统，由于它具有高维的数据，几乎不可能推导出甚至猜测出真正的生产函数。数据包络分析(DEA)是一种非参数的方法，它的优点是不需要为边界假设特定的函数形态，但它可以利用现有数据近似地估计生产函数。
DEA的局限性¶
- 输入和输出数据必须非常清晰，所以不能是哑变量或分类变量，否则评价会有偏倚。
- 被评价的决策单元之间需要具有“同质性”，即不同性质或不同尺度的决策单元之间不可进行比较。
- DEA评价的结果是决策单元之间的相对效率，而不是绝对效率，因此，用估计的“相对效率”作为绝对值是不合适的。
- DEA对数据的噪声非常敏感，因此要评估的数据应尽可能准确。
必备知识¶
生产函数¶
一个生产函数代表一个生产边界，它也代表一个可以使用输入向量$\vec{x}$实现的“最大输出”。此外，由于不同行业对技术的资源消耗比例和产出数量可能不同，因此数据资源必须尽可能来自于同一行业。
生产函数的性质¶
- 非负性(Nonnegativity): 生产输出是一个有限的，非负的实数。
- 弱必要性(Weak Essentiality): 至少使用一种输入，才能有生产输出。
- 单调性(Monotonicity): 一种投入的额外单位不会减少产出;也叫非递减
- 凸性(Concavity): 任何两个向量$x_0$和$x_1$ 会产生一个不小于相同的线性组合的输出$f(x_0)$和$f(x_1)$. 即, $$f(\lambda x_0+(1-\lambda)x_1\geq\lambda f(x_0)+(1-\lambda)f(x_1)$$ 这一性质意味着“边际收益递减规律”。
例外¶
上述属性不是非常详尽，也不是普遍成立的。
- 当输入过多，可以放松单调性的假设。例:购买更多的机器会提高生产率，但过多的机器会由于其他外部因素而降低机器的生产率
- 对于S型生产函数，凸性假设可以松弛
可变规模收益¶
在生产(经济学)中，规模回报描述当所有投入水平都是可变的时，随着生产规模的增加，长期回报如何变化。规模回报的概念源于公司的生产函数，该函数解释了产出(生产)增长率与相关的投入(生产要素)增加之间的联系。从长远来看，所有的生产要素都是可变的，会随着一定的生产规模的增加而发生变化
有三种可能的比例收益类型¶
- 固定规模收益(Constant returns to scale,CRS). 当增加投入时，产出的增加量与投入成正比。这是公司生产的最佳状态。
- 收益按比例递减(Decreasing returns to scale,DRS). 当增加投入时，产出的增加量小于投入。这种状态意味着公司生产规模过大，不建议增加投入。
- 按比例增加收益(Increasing returns to scale,IRS). 当增加投入时，产出的增加量大于投入.这种状态意味着公司生产规模过大，建议增加投入。
收益类型的数学表达式对比¶
$$\lambda\ge 1$$| Return to Scale | Mathematical Formulation |
|---|---|
| DRS | $f(\lambda x)\le \lambda f(x)$ |
| CRS | $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ |
| IRS | $f(\lambda x)\ge \lambda f(x)$ |
参考文献
[1] Coelli, T. J., Rao, D. S. P., O'Donnell, C. J., & Battese, G. E. (2005). An introduction to efficiency and productivity analysis. Springer Science & Business Media.
[2] Data envelopment analysis. (2020,June 9). In Wikipedia, the free encyclopedia. Retrieved June 20, 2020, from https://en.wikipedia.org/wiki/Data_envelopment_analysis
[3] Lee, C. Y., & Johnson, A. L. (2012). Two-dimensional efficiency decomposition to measure the demand effect in productivity analysis. European Journal of Operational Research, 216(3), 584-593.
[4] Returns to scale (2020, April 16). In Wikipedia, the free encyclopedia. Retrieved June 22, 2020, from https://en.wikipedia.org/wiki/Returns_to_scale
[5] Vörösmarty, G., & Dobos, I. (2020). A literature review of sustainable supplier evaluation with Data Envelopment Analysis. Journal of Cleaner Production, 121672.